1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja na poslijediplomskim studijima	60

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA:

Analitička teorija brojeva bavi se korištenjem analitičkih metoda u rješavanju problema vezanih za cijele brojeve. Cilj kolegija je uvesti neke od glavnih alata poput Riemannove zeta funkcije, Dirichletovih karaktera, sita i metode kružnice. Poseban naglasak bit će stavljen na vjerojatnosne heuristike, te njihov odnos s analitičkim pristupom.

NASTAVNI SADRŽAJI:
U uvodu ćemo uvesti brojeće funkcije pi(x) i psi(x), te dokazati neke osnovne ocjene poput Čebiševljevih ograda za psi(x). Nakon toga preći ćemo na dokaz teorema o prostim brojevima koji daje asimptotiku za funkciju pi(x). U sklopu njega uvest ćemo Riemannovu zeta funkciju, pokazati njena osnovna svojstva te objasniti važnost područja bez nultočaka i Riemannove hipoteze (njen dokaz ćemo preskočiti). To će nas prirodno uvesti u problem pronalaženja prostih brojeva u aritmetičkim nizovima u kojem će nam biti potrebni alati poput Dirichletovih karaktera i Dirichletove L-funkcije. U ostatku kolegija ideja je, ovisno o tome koliko vrijeme dopusti, obraditi i neke od novijih rezultata poput Maynardovog teorema o malim razmacima među prostim brojevima, te rezultata Matomaki i Radziwilla o prosjecima multiplikativnih funkcija na kratkim intervalima.

1. H. Davenport: Multiplicative Number Theory
2. A. Ivić: The Riemann Zeta-Function. Theory and Applications
3. H. Montgomery i R. Vaughan: Multiplicative Number Theory I. Classical Theory
4. E. C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-function

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika