primjer

Poštovane kolege,

po svršetku predavanja jedna vaša kolegice mi je pristupila s primjedbom o tome da je nepotrebno dublje analizirati izraze koji se javljaju u opisu skupova kojima računamo supremum i infimum. Naime, smatrala je da je dovoljno izračunati izraz za prve tri vrijednosti, da se odmah vidi pada li ili raste izraz, i na osnovu toga odmah donijeti zaključak. Budući da u tom trenutku nisam stigla dati detaljni odgovor (samo sam rekla da to nije baš tako), evo sad i primjera kojim to detaljnije ilustriram.

Neka je dan skup A čiji su elementi oblika 1/(n^2-10n+26), gdje n ide po svim prirodnim  brojevima. Odredite, ako postoje, infimum i supremum ovog skupa.

Kada bi računali prve tri vrijednosti ovog izraza (za n=1,2,3) , dobili bi 1/16, 1/10, 1/5. dakle, niz raste. Po tome bi, kada bi  zaključivali samo po prve tri vrijednosti, ispalo da je infimum ovog skupa jednak 1/16. 

Međutim, to nije istina. Treba analizirati funkciju f(x)=x^2-10x+26. Budući da je x^2-10x+26=(x-5)^2+1, dobivamo da se najmanja vrijednost funkcije f (na čitavom skupu realnih brojeva) dobiva za x=5 i iznosi f(5)=1. (možete i skicirati graf funkcije f (parabola!)). Dakle, posebno, f(x) uvijek poprima pozitivne vrijednosti. Dakle, za svaki realan broj x je f(x)>=1, pa je (1/f(x))<=1, i, štoviše, sup A=max A=1 (i postiže se za n=5). S druge strane, vidimo da je za n >5 , f(n) rastuća funkcija (pogledajte graf!) koja beskonačno raste (kažemo prema "+ beskonačno"), prema tome, za n>5, (1/f(n)) pada i teži 0. Dakle, inf A=0.

Iz ovog primjera se da naslutiti  da možemo uvijek možemo dovoljno zakomplicirati funkciju f da ne možemo apriorono ništa zaključiti o ponašanju funkcije na prvih 3,4, (ili 100 vrijednosti); uvijek treba analizirati cijelu funkciju.

Srdačan pozdrav,

M.Hanzer