1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno

CILJ KOLEGIJA: Glavni cilj ovog kolegija je ''premostiti'' prazninu između nivoa srednjoškolske matematike i tzv. fakultetske matematike. Studenti će se upoznati s osnovama matematičkog jezika i mišljenja te sistematizirati i produbiti već stečeno znanje o skupovima (brojeva), relacijama i funkcijama. Drugi cilj je detaljno ponoviti polinome (jedne i više varijabli) i racionalne funkcije te uvesti neke nove pojmove vezane uz njih (tzv. algebarski pristup). Posebna pažnja bit će posvećena jednadžbama i nejednadžbama. Bit će dan sustavan i detaljan pregled algebarskih jednadžbi (i trećeg i četvrtog stupnja), racionalnih i tzv. iracionalnih (ne)jednadžbi, jednadžbi i nejednadžbi s apsolutnim vrijednostima, eksponencijalnih i logaritamskih, te trigonometrijskih (ne)jednadžbi.

NASTAVNI SADRŽAJI:
Prema nastavnim tjednima, raspored sadržaja je sljedeći:
1. Uvod. Kratki pregled povijesnog razvoja matematike i osnovnih matematičkih disciplina. Grčki alfabet. Osnove logike sudova. Sudovi. Logički veznici i složeni sudovi. Tautologija. Nužan i dovoljan uvjet. Obrat suda. Obrat po kontrapoziciji. Suprotni sud. Negacija implikacije.
2. Predikati i kvantifikatori. Predikati. Univerzalni i egzistencijalni kvantifikator. Negacija kvantifikatora.
3. Oblici matematičkog mišljenja. Aksiomatska izgradnja matematičke teorije. Matematički pojam. Definicija pojma. Aksiom. Teorem i njegov obrat. Osnovna pravila izvoda. Osnovne vrste dokaza.
4. Skupovi. Pojam skupa. Podskup. Jednakost skupova. Univerzalni skup. Zadavanje skupova. Partitivni skup. Booleova algebra. Particija skupa. Kartezijev produkt skupova.
5. Osnovno o skupovima brojeva (oznake): prirodni, cijeli, racionalni, realni i kompleksni brojevi. Aksiom matematičke indukcije. Binomna formula.
6. Relacije. Pojam relacije. Parcijalni uređaj. Uređaj. Relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije. Kvocijentni skup. Primjeri relacija (djeljivost, kongruencije, neke relacije u geometriji) i njihova svojstva.
7. Funkcije. Pojam funkcije. Domena, kodomena i slika funkcije. Praslika. Graf funkcije. Jednakost funkcija. Restrikcija i proširenje funkcije.
8. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Permutacija skupa. Kompozicija funkcija. Inverzna funkcija.
9. Ekvipotentni skupovi. Pojam ekvipotentnih skupova. Kardinalni broj skupa. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Veza kardinalnih brojeva konačnih skupova sa skupovnim operacijama.
10. Polinomi u jednoj varijabli. Kvadratna funkcija. Prsten polinoma. Teorem o nul-polinomu. Teorem o jednakosti polinoma. Djeljivost polinoma. Hornerova shema. Najveća zajednička mjera polinoma.
11. Nultočke polinoma i algebarske jednadžbe (posebno trećeg i četvrtog stupnja). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Moivreove formule.
12. Osnovni teorem algebre. Interpolacijski polinom. Cjelobrojni i racionalni korijeni algebarske jednadžbe. Kompleksni korijeni algebarske jednadžbe. Reducibilnost i ireducibilnost polinoma nad C i R. Vieteove formule.
13. Racionalne funkcije. Pojam racionalne funkcije. Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke.
14. Polinomi dviju i više varijabli. Prsten polinoma dviju varijabli. Simetrični polinomi. Osnovni teorem o simetričnim polinomima dviju varijabli. Simetrične jednadžbe. Polinomi više varijabli.
Na vježbama bi se prvi tjedan radili primjeri direktno vezani uz predavanja, a sljedeća dva tjedna rješavale racionalne i tzv. iracionalne (ne)jednadžbe, jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima, eksponencijalne i logaritamske (ne)jednadžbe, te trigonometrijske (ne)jednadžbe. Nakon toga vježbe prate predavanja.