1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja	45
Auditorne vježbe	30

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA: Upoznavanje s pojmovima unitarnih prostora i linearnih operatora. Generalizacija dobro poznatih geometrijskih primjera i rezultata na općenite unitarne prostore. Produbljivanje i povezivanje sadržaja prethodno upoznatih u Linearnoj algebri 1 (vektorski prostori, matrice, sustavi linearnih jednadžbi) pomoću linearnih operatora.

NASTAVNI SADRŽAJI:
1) Ispitati i primijeniti svojstva skalarnog produkta na vektorskom prostoru.
2) Konstruirati ortonormiranu bazu unitarnog prostora i primijeniti takvu bazu na izračunavanje skalarnog produkta, norme, ortogonalne projekcije i udaljenosti.
3) Ispitati svojstva linearnog operatora i zadati linearni operator njegovim djelovanjem na bazu.
4) Iskazati i primijeniti teorem o rangu i defektu linearnog operatora te povezati taj teorem s rješavanjem sustava linearnih jednadžbi.
5) Napisati matrični prikaz linearnog operatora u paru baza i povezati matrice pridružene operatoru u različitim parovima baza.
6) Ispitati izomorfizam vektorskih prostora.
7) Odrediti svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora te ispitati njegovu dijagonalizabilnost.
8) Primijeniti invarijante linearnog operatora pri ispitivanju njegova djelovanja.
Upoznavanje s pojmovima unitarnih prostora i linearnih operatora. Generalizacija dobro poznatih geometrijskih primjera i rezultata na općenite unitarne prostore. Produbljivanje i povezivanje sadržaja prethodno upoznatih u Linearnoj algebri 1 (vektorski prostori, matrice, sustavi linearnih jednadžbi) pomoću linearnih operatora. Opis linearnih funkcionala na konačnodimenzionalnom unitarnom prostoru pomoću skalarnog množenja.
11) Matrični prikazi linearnog operatora u različitim parovima baza. Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora. Slične matrice. Neke invarijante sličnosti (rang, determinanta, trag).
12) Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora. Primjeri. Svojstveni potprostor. Spektar linearnog operatora. Svojstveni polinom i njegove nultočke. Algebarska i geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti. Dijagonalizacija linearnog operatora. Nužni i dovoljni uvjeti za dijagonalizaciju.
13) Operatorski polinomi. Hamilton-Cayleyev teorem. Invarijantni potprostori. Adjungirani operator (sve sažeto/informativno)
14) Linearni operatori na unitarnom prostoru. Unitarni operatori. Osnovna svojstva i primjeri unitarnih operatora. Spektar unitarnog operatora. Matrični prikaz unitarnog operatora u ortonormiranoj bazi. Klasifikacija unitarnih operatora na prostorima V2(O) i V3(O). Simetrični i hermitski operatori. Spektar i dijagonalizacija simetričnih i hermitskih operatora.
15) Neke primjene linearnih operatora: Kvadratne forme, krivulje i plohe 2. reda. Pozitivno definitne i semidefinitne simetrične matrice. Točke ekstrema kvadratnih polinoma u n varijabli. Sustavi rekurzivnih jednadžbi.

1. Linearna algebra, Z. Franušić, J. Šiftar, PMF, Zagreb, 2022.
2. Linearna algebra, Lj. Arambašić, Element, Zagreb, 2022.
3. Linearna algebra i primjene, D. Bakić, Školska knjiga, Zagreb, 2021.

Upis predmeta :
Položen : Linearna algebra 1

Obavezni predmet - Redovni Studij - Matematika i fizika; modul: nastavnički