1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja	45
Auditorne vježbe	30

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ PREDMETA: Osnovni cilj ovog predmeta je studente upoznati s modernim pristupima matematičkom modeliranju i znanstvenom računanju, koristeći široku paletu studijskih primjera. Poseban naglasak je na pristupu u kojem je fokus rješenje konkretnog problema korištenjem svih raspoloživih matematičkih tehnika/teorija, a ne proučavanje pojedinih matematičkih teorija. Na konkretnim primjerima se pokazuju osnovni elementi: (i) formulacija problema i njegov matematički opis; (ii) matematička analiza problema i razvoj metode za rješavanje; (iii) konstrukcija algoritamskog rješenja i softverska implementacija; (iv) komunikacija i interpretacija rezultata u kontekstu originalnog polaznog problema.
Time se studenta priprema za posao primijenjenog matematičara na sve zahtjevnijem tržištu rada. Istovremeno se naglašava važnost i snaga matematike i znanstvenog računanja i motivira studenta na produbljivanje matematičkog znanja.

NASTAVNI SADRŽAJI:
1. Inženjerski modeli opisani diferencijalnim jednadžbama. Klasični primjeri modeliranja pomoću diferencijalnih jednadžbi su analizirani u kontekstu izrade efikasnih numeričkih simulacija koristeći tehnike redukcije dimenzije modela.
1.1. Opis problema i izvod matematičkog modela koristeći odabrane primjere.
1.2. Opis tehnika redukcije dimenzije modela POD (Proper Orthogonal Decomposition), PCA (Principal Component Analysis), KLD (Karhunen-Loeve Decomposition), balansirano rezanje. Praktični numerički algoritmi koristeći raspoložive programske pakete.
1.3. Numerička simulacija. Pojam digitalnog blizanca (digital twin). Primjeri.

2. Modeliranje pogonjeno podacima. Koristeći raspoložive eksperimentalne podatke i pretpostavljeni opći oblik modela, razvijaju se algoritmi koji izvode ("uče") jednadžbe koje generiraju dobivene podatke.
2.1. Primjeri problema i tehnika izvođenja modela iz eksperimentalnih podataka.
2.2. Numerički primjeri.

3. Randomizirani algoritmi. U mnogim primjenama je prisutan element slučajnosti, ili se ona uvodi kako bi se dobili efikasni algoritmi.
3.1. Monte-Carlo simulacije u primjenama.
3.2. Stohastička optimizacija s primjerima primjene.
3.3. Bayesovski pristup znanstvenom računanju. Asimilacija podataka.

4. Metode relaksacije složenih problema diskretne optimizacije. Pokazuje se kako se rješenja NP teških problema diskretne optimizacije aproksimiraju rješavanjem tzv. relaksiranih problema. Na konkretnim primjerima će biti pokazano kako matematički model zahtijeva rješavanje teških kombinatornih problema, te kako ih se rješava svođenjem na probleme kontinuirane optimizacije za koje postoje efikasni numerički algoritmi.
4.1. Studijski primjer: spektralni rezovi u težinskim grafovima (npr. min-cut za probleme klasteriranja/segmentacije).
4.2. Studijski primjer: računanje meta-stabilnih stanja Markovljevih lanaca.

1. Introduction to Bayesian Scientifi Computing, D. Calvetti, E. Somersalo, Springer, 2007.
2. Numerical Mathematics, A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Springer Texts in Applied mathematics, 2007.
3. Stochastic Simulation and Monte Carlo Methods, C. Graham, D. Talay, Springer Mathematical Foundations of Stochastic Simulation, 2013.
4. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems, A. Antoulas, SIAM, 2005.

Obavezni predmet - Redovni Studij - Računarstvo i matematika