Anketa

Na ovoj stranici trenutno nije odabrana niti jedna anketa!

PRAVILA POLAGANJA

VJEŽBE

Rješenja kolokvija (od 2021.)

ZADAĆE

Linearna algebra 2

Šifra: 186320
ECTS: 8.0
Nositelji: doc. dr. sc. Ana Prlić
Izvođači: doc. dr. sc. Ana Prlić - Auditorne vježbe
Opterećenje:

1. komponenta

Vrsta nastaveUkupno
Predavanja 45
Auditorne vježbe 30
* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)
Opis predmeta:
CILJ KOLEGIJA: Kolegij u svom prvom dijelu obuhvaća temu unitarnih prostora, a preostali, opsežnmiji dio u potpunosti je posvećen linearnim operatorima. Pristup pomoću linearnih operatora omogućuje produbljivanje i povezivanje sadržaja prethodno upoznatih u Linearnoj algebri 1 (struktura vektorskih prostora, matrice, sustavi linearnih jednadžbi) te različite geometrijske i algebarske primjene.

NASTAVNI SADRŽAJI:
I. UNITARNI PROSTORI
I.1. Definicija unitarnog prostora (nad poljima R i C). Osnovna svojstva. Primjeri, posebno V2(O) i V3(O). Cauchy-Schwarzova nejednakost. Gramova matrica i determinanta. Relacija ortogonalnosti vektora. Ortogonalni skup. Potprostor vektora ortogonalnih na podskup.
I.2. Norma i normirani prostor. Osnovna svojstva norme i primjeri. Ortonormirani skup. Norma inducirana skalarnim množenjem. Relacija paralelograma. Metrika i metrički prostor. Metrika inducirana normom.
I.3. Ortonormirana baza unitarnog prostora. Izražavanje skalarnog produkta, norme i metrike u ortonormiranoj bazi. Ortogonalna projekcija na smjer zadanog vektora. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Ortogonalni komplement potprostora konačnodimenzionalnog unitarnog prostora. Ortogonalna projekcija na potprostor. Udaljenost vektora od potprostora. Metoda najmanjih kvadrata.
II. LINEARNI OPERATORI
II.1. Definicija linearnog operatora. Osnovna svojstva. Primjeri, posebno na V2(O) i V3(O). Kompozicija linearnih operatora i inverz bijektivnog linearnog operatora.
II.2. Zadanost linearnog operatora na konačnodimenzionalnom prostoru djelovanjem na bazu. Matrični zapis linearnog operatora u paru baza. Matrični zapis djelovanja na vektor. Rekonstrukcija linearnog operatora iz matričnog zapisa. Matrični zapis važnijih primjera linearnih operatora.
II.3. Djelovanje linearnog operatora u odnosu na potprostore. Jezgra i slika linearnog operatora. Rang i defekt. Karakterizacija injektivnosti pomoću jezgre. Monomorfizam, epimorfizam i izomorfizam. Karakterizacija preko djelovanja na linearno nezavisne podskupove, na sustave izvodnica i na baze vektorskog prostora. Teorem o rangu i defektu linearnog operatora. Posljedice teorema o rangu i defektu. Interpretacija sustava linearnih jednadžbi pomoću linearnog operatora. Izomorfni vektorski prostori. Karakterizacija izomorfnosti pomoću dimenzije u konačnodimenzionalnom slučaju.
II.4. Prostor linearnih operatora L(V,W). Algebra linearnih operatora L(V). Izomorfizam s prostorom matrica Mm,n(F), odnosno s matričnom algebrom Mn(F). Grupa GL(V). Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora.
II.5. Linearni funkcionali. Dualni prostor vektorskog prostora. Dualna baza. Opis linearnih funkcionala na konačnodimenzionalnom unitarnom prostoru pomoću skalarnog množenja.
II.6. Matrični prikazi linearnog operatora u različitim parovima baza. Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora. Slične matrice. Neke invarijante sličnosti (rang, determinanta, trag).
II.7 . Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora. Primjeri. Svojstveni potprostor. Spektar linearnog operatora. Svojstveni polinom i njegove nultočke. Algebarska i geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti. Dijagonalizacija linearnog operatora. Nužni i dovoljni uvjeti za dijagonalizaciju.
II.8. Operatorski polinomi. Hamilton-Cayleyev teorem. Invarijantni potprostori. Adjungirani operator (sve sažeto/informativno)
II.9. Linearni operatori na unitarnom prostoru. Unitarni operatori. Osnovna svojstva i primjeri unitarnih operatora. Spektar unitarnog operatora. Matrični prikaz unitarnog operatora u ortonormiranoj bazi. Klasifikacija unitarnih operatora na prostorima V2(O) i V3(O). Simetrični i hermitski operatori. Spektar i dijagonalizacija simetričnih i hermitskih operatora.
II.10. Neke primjene linearnih operatora: Kvadratne forme, krivulje i plohe 2. reda. Pozitivno definitne i semidefinitne simetrične matrice. Točke ekstrema kvadratnih polinoma u n varijabli. Sustavi rekurzivnih jednadžbi.
Literatura:
Preduvjeti za:
Upis predmeta :
Položen : Linearna algebra 1
3. semestar
Obavezni predmet - Redovni Studij - Matematika; smjer: nastavnički
Termini konzultacija:
  • doc. dr. sc. Ana Prlić:

    Četvrtak 13-14, petak 10-11 (ured A309) ili po dogovoru emailom.

    U kolokvijskim/ispitnim tjednima konzultacije će se održavati po dogovoru.

    Lokacija: A309

SADRŽAJ

DEMONSTRATURE

Eleonora Đaković, utorkom u 16:15 u 002, obavezna prethodna najava emailom 

E-mail adrese demonstratora su oblika ime.prezime@student.math.hr uz ć,ž,š  |--> c,z,s

 

 


Obavijesti

Termini usmenih ispita 20. - 23. 2. 2024. nalaze se ovdje

Autor: Ana Prlić

Na Merlinu je postavljena anketa s terminima usmenih ispita u tjednu 19. - 23. 2. 2024. Molim vas da prije popunjavanja ankete pažljivo pročitate uputu i da anketu popunite do 19. 2. 2024. u 12 sati. 

Anketa se odnosi na studente koji su položili pismeni dio ispita na 2. zimskom roku, kao i na studente koji su položili pismeni dio ispita na 1. zimskom ispitnom roku, ali nisu položili usmeni dio ispita.

 

Autor: Ana Prlić

Rezultati 2. ispitnog roka nalaze se ovdje. Uvidi će se održati u ponedjeljak u 9:30 sati u A309. Na Merlinu će tokom dana biti postavljena anketa s terminima usmenih ispita. 

Autor: Ana Prlić

Svi studenti koji žele pristupiti 2. ispitnom roku trebaju  pravovremeno prijaviti ispit. To se odnosi i na studente koji su položili pismeni dio ispita na 1. roku, ali usmeni dio ispita nisu položili u tjednu 5. -  9. 2. 2024.

Autor: Ana Prlić