Doktorski seminar za vjerojatnost

Ovo je neformalni seminar za vjerojatnost s ciljem pružanja doktorskim studentima i postdoktorandima mjesta za razgovor o njihovom znanstvenom radu, razmjenu ideja i suradnju s drugim znanstvenicima u početnoj fazi karijere. Veliki naglasak na seminarima je da budu vrlo razumljivi i detaljno objašnjeni kako bi ih svi, pa tako i doktorski studenti prve godine mogli pratiti i doprinijeti raspravi sa svojim pitanjima i komentarima.

Ako želite prisustvovati ili održati seminar javite se Ivani Valentić na ivana.valentic@math.hr.


Seminari


Sažeci

Aproksimativni procjenitelj maksimalne vjerodostojnosti parametra drifta u višedimenzionalnom difuzijskom modelu

Uz fiksni $T>0$ i $k \geq 2$ promatramo $k$-dimenzionalnu stohastičku diferencijalnu jednadžbu $dX_t=\mu(X_t, \theta)\,dt+\nu(X_t)\sigma\,dW_t,$ na vremenskom intervalu $[0,T]$ pri čemu pretpostavljamo da je matrica $\sigma$ poznata, a parametar drifta $\theta$ je nepoznat. Općenito, funkcija drifta $\mu$ nelinearno ovisi o $\theta$. Jedan od glavnih rezultata je da razlika aproksimativnog procjenitelja maksimalne  vjerodostojnosti $\overline{\theta}_n$ dobivenog na temelju diskretnih opservacija $(X_{i\Delta_n}, 0 \leq i \leq n)$  i procjenitelja maksimalne vjerodostojnosti $\hat{\theta}_T$ dobivenog na temelju neprekidnih opservacija  $(X_t, 0\leq t\leq T)$, kad $\Delta_n=T/n$ konvergira u 0, konvergira stabilno po distribuciji k slučajnom vektoru koji ima miješanu normalnu distribuciju s kovarijacijskom matricom koja ovisi o $\hat{\theta}_T$ i $(X_t, 0 \leq t\leq T)$.  Ispravnost dobivenog rezultata potvrđena je simulacijama na primjeru Hestonovog modela koji se često pojavljuje u financijama.

When is the convex hull of a Lévy path smooth?

We characterise, in terms of their transition laws, the class of one-dimensional Lévy processes whose graph has a continuously differentiable (planar) convex hull. We show that this phenomenon is exhibited by a broad class of infinite variation Lévy processes and depends subtly on the behaviour of the Lévy measure at zero. We introduce a class of strongly eroded Lévy processes, whose Dini derivatives vanish at every local minimum of the trajectory for all perturbations with a linear drift, and prove that these are precisely the processes with smooth convex hulls. We study how the smoothness of the convex hull can break and construct examples exhibiting a variety of smooth/non-smooth behaviours. Finally, we conjecture that an infinite variation Lévy process is either strongly eroded or abrupt, a claim implied by Vigon’s point-hitting conjecture. In the finite variation case, we characterise the points of smoothness of the hull in terms of the Lévy measure.

CGT za opseg konveksne ljuske razapete s dvije nezavisne slučajne šetnje u ravnini

U ovom seminaru ograničavamo se na R^2 te promatramo dvije nezavisne slučajne šetnje s linearno nezavisnim vektorima drifta. Ako s L_n označimo opseg razapete konveksne ljuske do trenutka n, pokazujemo da tada 1/\sqrt{n}(L_n - E(L_n)) konvergira po distribuciji prema N(0, \sigma^2) gdje konstantu sigma^2 > 0 možemo eksplicitno izraziti. U konačnici, ideja je proširiti ovu ideju na više šetnji u više dimenzija i za ostale intrinzične volumene.

 

Efikasno računanje kreditnog rizika suprotne ugovorne strane:

Za razliku od organizirane burze gdje neovisna treća strana brine o namiri trgovanja, pri izvanburzovnom trgovanju financijskim izvedenicama pojavljuje se rizik da suprotna strana nije u mogućnosti podmiriti ugovorene obveze. Zbog veličine izvanburzovnog tržista izvedenica, te zbog njegovih nedostataka istaknutih tijekom krize 2008. godine, taj se rizik danas smatra jednim od ključnih rizika globalnog financijskog sustava. U ovom predavanju opisat ćemo pojavu rizika suprotne strane u širem ekonomskom kontekstu, formalizirati izazove koje predstavlja njegovo računanje, te predložiti pristup njihovom ublažavanju temeljen na aproksimaciji funkcija. Predstavit ćemo teorijsku analizu greške predloženog pristupa i numeričke rezultate za nekoliko poznatih stohastičkih modela financijske matematike.

Traženje uzorka u velikim skupovima:

Osvrnut ćemo se na aktualne rezultate motivirane Szemerédijevim teoremom i Euklidovim teoremima gustoće. Premda su u pitanju kombinatorni i geometrijski problemi, poseban naglasak dat ćemo na pristupu s alatima koji pripadaju grani harmonijske analize.

Regime-switching diffusions:

In this talk, we define and discuss interesting properities of regime-switching diffusion processes.

Generalizirani Gaussovi modeli za modeliranje EEG prirasta:

Elektroencefalografija (EEG) je metoda kojom se mjeri električna aktivnost mozga. Analiza EEG signala pokazala je da stohastičko modeliranje prirasta takvog signala može doprinijeti boljem predviđanju neurokognitivnog ishoda oporavka djeca koja su uslijed cerebralne malarije završila u komi. Za potrebe ove analize, prirasti EEG signala modelirani su pomoću generalizirane Gaussove distribucije s parametrizacijom koja također uključuje i teške repove. U tom slučaju, repni indeks procijenjen je pomoću empirijske funkcije skaliranja. Dobivene vrijednosti procjenitelja korištene su kao mogući prediktori neurokognitivnog ishoda djece koja su se oporavila od kome. Kao proširenje dosadašnje analize, istražuju se i miješani generalizirani Gaussovi modeli prikladni za uočene multimodalne distribucije.

Geometrijski pristup konstrukciji Wright-Fisher difuzija:

Wright-Fisherove(WF) difuzije su procesi koji se koriste za modeliranje širenja gena u populaciji. Objasnit ćemo kako se određene pojave u prirodi kao što su mutacija gena i selektivna predonst koju određeni geni mogu imati odražavaju u stohastičko diferencijalnim jednadžbama koje ovi procesi zadovoljavaju. Pokazat ćemo neočekivanu vezu između WF difuzija i Brownovog gibanja na sferi, te objasniti kako promjena geometrijskih svojstava procesa na manifoldu može dovesti do konstrukcije generalnije WF difuzije.

Semilinearne jednadžbe i subordinirano ubijeno Brownovo gibanje:

Promatramo semilinearnu jednadžbu Lu(x)=f(x,u(x)) u C^{1,1} ograničenoj domeni, pri čemu je L infinitezimalni generator subordiniranog ubijenog Brownivog gibanja. Jednadžba generalizira dobro analiziranu teoriju kada je oprator L Laplaceov operator (koji je infinitezimalni generator Brownovog gibanja). U izlaganju osvrnut ćemo se na osnovne pojmove vjerojatnosne teorije potencijala koji se koriste u pristupu rješavanja ovakvog tipa jednadžbi.

Maksimum u slučajnim klasterima:

Promatramo maksimum, V_{i=1}^K X_i, od slučajno mnogo članova njd niza (X_j) u specifičnom slučaju zavisnosti: kada je K vrijeme zaustavljanja od (X_i). Pod pretpostavkom da X_1 pripada maksimalnoj domeni atrakcije neke distribucije ekstremnih vrijednosti, navedeni maksimum pripada istoj maksimalnoj domeni atrakcije. Problem se može promatrati i kao konvergencija točkovnih procesa te se može primijeniti za rezultate u označenim klaster procesima obnavljavljanja koji se često javljaju u osiguranjima. Tada maksimum interpretiramo kao najveću štetu u određenom periodu.

Očekivani volumen konveksne ljuske vremensko-prostorne trajektorije Brownovog gibanja:

Promatramo standardno Brownovo gibanje u d-1 dimenzija. Vremensko-prostorna trajektorija tog procesa živi u d-dimenzionalnom prostoru. U ovom predavanju pokazat ćemo zatvorenu formulu za očekivanu vrijednost volumena konveksne ljuske te vremensko-prostorne trajektorije.